अदिश गुणनफल

अदिश गुणनफल या बिन्दु गुणनफल( Scalar or Dot Product )

जब दो सदिश राशियों का गुणन इस प्रकार हो कि परिणामी गुणनफल एक अदिश राशि हो तो इसे अदिश या बिंदु गुणनफल कहते है।

किन्हीं दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) के अदिश गुणनफल को निम्न प्रकार से व्यक्त करते है
$$ \vec{A} . \vec{B} = A B \cos \theta $$
यहां θ दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) के बीच का कोण है।

दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) के अदिश गुणनफल से एक अदिश राशि प्राप्त होती है।

  • जब दो सदिश \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) परस्पर समांतर हो तब, θ = 0 अतः $$ \vec{A} . \vec{B} = A B $$
    एकांक सदिशों का लिये
    \( \hat{i}\) . \( \hat{i}\) = \( \hat{j}\) . \( \hat{j}\) = \( \hat{k}\).\( \hat{k}\) = 1
  • जब दो सदिश \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) परस्पर लम्बवत हो तब, θ= 90 अतः $$\vec{A}.\vec{B} = 0 $$

    एकांक सदिशों का लिये
    \( \hat{i}\) . \( \hat{j}\) = \( \hat{j}\) . \( \hat{k}\) = \( \hat{k}\). \( \hat{i}\) = 0

  • जब दो सदिश \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) प्रति समांतर हो तब, θ = 0 अतः $$ \vec{A} . \vec{B} = – AB $$

अदिश गुणनफल के गुणधर्म

  • अदिश गुणनफल क्रम विनिमेय नियम का पालन करते है।
    $$ \vec{A} . \vec{B} = \vec{B} . \vec{A}$$

  • अदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करते है
    $$ \vec{A} . ( \vec{B} + \vec{C} ) = \vec{A} . \vec{B} + \vec{A} . \vec{C}$$

घटको के रुप में दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) का अदिश गुणनफल

$$\vec{A} . \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z $$