सदिशों का संयोजन

सदिशों का योग का त्रिभुज नियम

इस नियम में त्रिभुज की तीन भुजाओं में से दो भुजाएं एक ही क्रम में दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) को व्यक्त करती है तथा तीसरी भुजा विपरीत क्रम में परिणामी सदिश \( \vec{R}\) को व्यक्त करती है। परिणामी सदिश \( \vec{R}\) दोनों सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) के योग के बराबर होता है।
परिणामी सदिश $$ \vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$$

सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम

जब दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) को समांतर चतुर्भुज की दो आसनों भुजाओं द्वारा व्यक्त किया जाता है तो इनके कटान बिन्दु से निकलने वाला विकर्ण परिणामी \( \vec{R}\) को व्यक्त करता है।
परिणामी सदिश $$ \vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$$

यह सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम है।

सदिश योग का बहुभुज नियम

जब दो या दो से अधिक सदिशों को किसी बहुभुज की क्रमागत भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाता है तो बहुभुज को बन्द करने वाली अंतिम भुजा विपरीत क्रम में परिणामी सदिश को प्रदर्शित करती है।।
परिणामी सदिश $$ \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}$$

सदिशों का संयोजन: गणितीय विधि (Addition of Vectors : Mathematical Method )

माना दो सदिश \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) प्रदर्शित है जिनके मध्य कोण θ है तथा इनका परिणामी सदिश \( \vec{R}\) है। परिणामी सदिश \( \vec{R}\) , सदिश \( \vec{A}\) के साथ β कोण बनाता है
भुजा ON को P तक आगे बढ़ाते है और Q से एक लम्ब डालते है। अत: त्रिभुज NPQ में NP = B cosθ तथा PQ = B sinθ प्राप्त होती है।

अत: त्रिभुज OPQ से

R2 = ( A + B cosθ )2 + ( B sinθ )2


R = ( A2 + B 2 + 2 AB cosθ )½
यह परिणामी सदिश \( \vec{R}\) का परिमाण है।
माना परिणामी सदिश \( \vec{R}\), सदिश \( \vec{A}\) के साथ β कोण बनाता है। तब समकोण त्रिभुज OPQ से
tanβ = B sinθ /( A + B cos θ )

सदिश योग के गुणधर्म ( Properties of Vector Addition )

  • सदिशों का योग क्रम विनिमेय नियम का पालन करता है।$$ \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$$
  • सदिशों का योग साहचर्य नियम का पालन करता है।
    $$(\vec{A} + \vec{B})+ \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$$