सदिश गुणनफल

सदिश गुणनफल या वज्र गुणनफल( Vector or Cross Product )

जब दो सदिश राशियों का गुणन इस प्रकार हो कि परिणामी गुणनफल एक सदिश राशि हो तो इसे सदिश गुणनफल कहते है।

किन्हीं दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) के सदिश गुणनफल को निम्न प्रकार से व्यक्त करते है

$$ \vec{A} \times \vec{B} = A B \sin \theta \hat{n}$$

यहां \( \hat{n}\) परिणामी सदिश की दिशा में एकांक सदिश है।

दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) के सदिश गुणनफल से एक सदिश राशि प्राप्त होती है।

  • जब दो सदिश \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) परस्पर समांतर या प्रति समांतर हो तब,
    $$ \theta = 0^o or 180^o$$ अतः $$ \vec{A} \times \vec{B} = 0$$

    एकांक सदिशों का लिये
    $$ \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$$

  • जब दो सदिश \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) परस्पर लम्बवत हो तब, $$ \theta = 90^0$$ अतः $$ \vec{A} \times \vec{B} = AB \hat{n}$$

    एकांक सदिशों का लिये
    \( \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\) , \( \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\) , \( \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\)

सदिश गुणनफल के गुणधर्म

  1. सदिश गुणनफल क्रम विनिमेय नियम का पालन नहीं करते है।
    $$ \vec{A} \times \vec{B} = – \vec{B} \times \vec{A}$$
  2. सदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करते है|
    $$ \vec{A} \times ( \vec{B} + \vec{C} ) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$$

घटको के रुप में दो सदिशों \( \vec{A}\) तथा \( \vec{B}\) का अदिश गुणनफल

$$ \vec{A} \times \vec{B} = ( A_y B_z – A_z B_y ) \hat{i} +$$ $$( A_z B_x – A_x B_z ) \hat{j} + ( A_x B_y – A_y B_x ) \hat{k}$$